Récurrence, encadrement et convergence — Niveau difficile

Exercice 6

On considère la suite ($u_n$)${}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Dans tout l'exercice, on pourra utiliser librement le fait que la fonction racine carrée est croissante sur $[0;+\infty [$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (valeurs exactes). Émettre une conjecture sur la convergence de ($u_n$).
2. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $0\le u_n\le 2$.
3. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n\ge 0$. En déduire que ($u_n$) est croissante.
   Indication : On pourra étudier le signe de $u_{n+1}^2-u_n^2$.
4. Conclure que ($u_n$) est convergente. En notant $\ell$ sa limite, montrer que $\ell$ vérifie ${\ell }^2-\ell -2=0$ et en déduire la valeur de $\ell$.
5. On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $w_n=2-u_n$.
   a) Montrer que $w_{n+1}\le \frac{1}{4}\times w_n$.
   b) En déduire que $0\le 2-u_n\le 2\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et interpréter ce résultat.