لتكن ( u n ) معرفة بما يلي: u 0 = 4 و u n + 1 = 5 2 u n + 3 . بين بالترجع أن u n < 5 لكل n ∈ N . تحقق أن u n + 1 − u n = 5 3 ( 5 − u n ) ، ثم استنتج رتابة المتتالية ( u n ) . لتكن v n = 5 − u n . بين أن ( v n ) متتالية هندسية أساسها 5 2 ، ثم عبر عن u n بدلالة n .

متتالية حسابية هندسية

Intermédiaire

Énoncé

لتكن $(u_{n})$ معرفة بما يلي: $u_{0} = 4$ و $u_{n + 1} = \frac{2}{5} u_{n} + 3$ .

بين بالترجع أن $u_{n} < 5$ لكل $n \in N$ .
تحقق أن $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3}{5} (5 - u_{n})$ ، ثم استنتج رتابة المتتالية $(u_{n})$ .
لتكن $v_{n} = 5 - u_{n}$ . بين أن $(v_{n})$ متتالية هندسية أساسها $\frac{2}{5}$ ، ثم عبر عن $u_{n}$ بدلالة $n$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_0 = 4 < 5$. Ensuite, suppose que $u_n < 5$ et utilise cette hypothèse dans la relation $u_{n+1} = \dfrac{2}{5}u_n + 3$ pour majorer $u_{n+1}$.

2 الإرشاد 2

Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, calcule $v_{n+1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression, puis factorise pour faire apparaître $v_n = 5 - u_n$. Tu dois trouver une relation du type $v_{n+1} = q \times v_n$.

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Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_{0} = 4 < 5$ . Ensuite, suppose que $u_{n} < 5$ et utilise cette hypothèse dans la relation $u_{n + 1} = \frac{2}{5} u_{n} + 3$ pour majorer $u_{n + 1}$ .

Pour montrer que $(v_{n})$ est géométrique, calcule $v_{n + 1}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression, puis factorise pour faire apparaître $v_{n} = 5 - u_{n}$ . Tu dois trouver une relation du type $v_{n + 1} = q \times v_{n}$ .

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