نص التمرين لتكن ( u n ) المتتالية المعرفة بـ u n = k = 1 ∑ n k ( k + 2 ) 1 . عيّن n → + ∞ lim u n . لتكن ( v n ) المتتالية المعرفة بـ v n = k = 1 ∑ n arctan ( k 2 + k + 1 1 ) . بيّن أنه من أجل كل x ≥ 0 : arctan ( x + 1 ) − arctan ( x ) = arctan ( x 2 + x + 1 1 ) . عيّن n → + ∞ lim v n .

Sommes télescopiques et somme d'arctangentes

Difficile

لتكن $(u_{n})$ المتتالية المعرفة بـ $u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 2 )}$ . عيّن $n \to + \infty lim u_{n}$ .
لتكن $(v_{n})$ المتتالية المعرفة بـ $v_{n} = k = 1 \sum n arctan (\frac{1}{k ^{2} + k + 1})$ .
1. بيّن أنه من أجل كل $x \geq 0$ : $arctan (x + 1) - arctan (x) = arctan (\frac{1}{x ^{2} + x + 1})$ .
2. عيّن $n \to + \infty lim v_{n}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة لـ $u_n$، حلل $\dfrac{1}{k(k+2)}$ إلى عناصر بسيطة على الشكل $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)$ للحصول على مجموع متتال.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2.أ)، ضع $a=\arctan(x+1)$، $b=\arctan(x)$، احسب $\tan(a-b)$ باستعمال صيغة طرح الظل، وتحقق أن $a-b$ يبقى في $[0,\pi/2[$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 2.ب)، طبق متطابقة 2.أ) مع $x=k$ لكل حد من $v_n$: يصبح المجموع متتاليا ويؤول إلى $\arctan(n+1)-\arctan(1)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة لـ $u_{n}$ ، حلل $\frac{1}{k ( k + 2 )}$ إلى عناصر بسيطة على الشكل $\frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ للحصول على مجموع متتال.

بالنسبة للسؤال 2.أ)، ضع $a = arctan (x + 1)$ ، $b = arctan (x)$ ، احسب $tan (a - b)$ باستعمال صيغة طرح الظل، وتحقق أن $a - b$ يبقى في $[0, π /2 [$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points