Calcul littéral : développer et factoriser (avec les identités remarquables)

Le calcul littéral est l'un des outils les plus puissants des mathématiques. Dès qu'on remplace des nombres par des lettres, on peut écrire des formules générales, démontrer des propriétés et résoudre des équations. Mais pour beaucoup d'élèves, développer et factoriser reste une source d'erreurs. Dans cet article accessible (niveau collège et Tronc Commun), nous reprenons tout depuis le début : le vocabulaire, les méthodes, les fameuses identités remarquables, et des exemples résolus pas à pas.

Le vocabulaire du calcul littéral

Une expression littérale est une expression qui contient au moins une lettre représentant un nombre. Par exemple $3 x + 5$ , $2 a - b$ ou encore $(x + 1) (x - 2)$ sont des expressions littérales. La lettre s'appelle une variable car elle peut prendre différentes valeurs.

Pour ne pas confondre les mots, retenez bien :

Un terme est un morceau de l'expression séparé par un signe $+$ ou $-$ . Dans $3 x + 5 - 2 y$ , les termes sont $3 x$ , $5$ et $- 2 y$ .
Un facteur est un morceau d'un produit, séparé par un signe $\times$ . Dans $3 \times x \times y$ , les facteurs sont $3$ , $x$ et $y$ .
Le coefficient est le nombre qui multiplie la lettre. Dans $7 x$ , le coefficient est $7$ .

Une règle d'écriture importante : on ne note jamais le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse. On écrit $3 x$ et non $3 \times x$ , et $2 (x + 1)$ et non $2 \times (x + 1)$ .

À retenir : on additionne des termes et on multiplie des facteurs. Confondre les deux est la première cause d'erreur en calcul littéral !

Réduire une expression

Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes semblables (ceux qui ont la même partie littérale). On ne peut additionner que des termes de même nature : les $x$ avec les $x$ , les $x^{2}$ avec les $x^{2}$ , les nombres avec les nombres.

Exemple résolu : réduisons $A = 4 x + 3 - x + 7 + 2 x$ .

On regroupe les termes en $x$ : $4 x - x + 2 x = 5 x$ .
On regroupe les nombres : $3 + 7 = 10$ .
Résultat : $A = 5 x + 10$ .

Attention : $5 x + 10$ ne se simplifie pas davantage, car $5 x$ et $10$ ne sont pas des termes semblables.

Développer une expression

Développer, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence). On supprime les parenthèses grâce à la distributivité.

Distributivité simple

La règle de base est : $k (a + b) = k a + k b$ . On multiplie le facteur de devant par chaque terme de la parenthèse.

Exemple : $3 (2 x + 5) = 3 \times 2 x + 3 \times 5 = 6 x + 15$ .

Attention aux signes : $- 2 (x - 4) = - 2 \times x + (- 2) \times (- 4) = - 2 x + 8$ . Le signe $-$ devant la parenthèse change tous les signes à l'intérieur.

Double distributivité

Pour multiplier deux parenthèses, on utilise : $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ . Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

Exemple résolu : développons $(x + 3) (x + 5)$ .

$x \times x = x^{2}$
$x \times 5 = 5 x$
$3 \times x = 3 x$
$3 \times 5 = 15$
On additionne : $x^{2} + 5 x + 3 x + 15 = x^{2} + 8 x + 15$ .

Les trois identités remarquables

Les identités remarquables sont des développements de produits qui reviennent si souvent qu'il faut les connaître par cœur. Elles font gagner un temps précieux, dans les deux sens : pour développer et pour factoriser.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

La plus piégeuse est le carré : beaucoup d'élèves écrivent par erreur $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ . C'est faux ! Il ne faut jamais oublier le double produit $2 ab$ .

Erreur classique à éviter :

(x + 3)^{2} \neq = x^{2} + 9

. Le bon développement est

(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9

Exemple résolu avec $(a - b)^{2}$ : développons $(2 x - 5)^{2}$ . Ici $a = 2 x$ et $b = 5$ .

$a^{2} = (2 x)^{2} = 4 x^{2}$
$2 ab = 2 \times 2 x \times 5 = 20 x$
$b^{2} = 5^{2} = 25$
Donc $(2 x - 5)^{2} = 4 x^{2} - 20 x + 25$ .

Exemple avec $(a + b) (a - b)$ : $(x + 7) (x - 7) = x^{2} - 7^{2} = x^{2} - 49$ . Les termes en $x$ se compensent : c'est tout l'intérêt de cette identité.

Factoriser une expression

Factoriser, c'est l'opération inverse de développer : on transforme une somme en un produit. Cela revient à faire apparaître des facteurs communs ou à reconnaître une identité remarquable.

Méthode 1 : le facteur commun

Si un même facteur apparaît dans tous les termes, on le met en facteur : $k a + k b = k (a + b)$ .

Exemple résolu : factorisons $6 x + 9$ . Le facteur commun est $3$ (car $6 = 3 \times 2$ et $9 = 3 \times 3$ ).

$6 x = 3 \times 2 x$ et $9 = 3 \times 3$ .
Donc $6 x + 9 = 3 (2 x + 3)$ .

Facteur commun avec une lettre : factorisons $5 x^{2} + 3 x$ . Chaque terme contient $x$ , donc on met $x$ en facteur : $5 x^{2} + 3 x = x (5 x + 3)$ .

Le facteur commun peut être une parenthèse : dans $(x + 1) \times 4 + (x + 1) \times x$ , le facteur commun est $(x + 1)$ : $(x + 1) (4 + x)$ .

Méthode 2 : reconnaître une identité remarquable

Lues de droite à gauche, les identités remarquables deviennent des outils de factorisation :

$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Exemple résolu (différence de deux carrés) : factorisons $x^{2} - 25$ . On reconnaît $a^{2} - b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 5$ (car $25 = 5^{2}$ ). Donc $x^{2} - 25 = (x + 5) (x - 5)$ .

Exemple résolu (carré parfait) : factorisons $x^{2} + 6 x + 9$ . On teste l'identité $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ : ici $a^{2} = x^{2}$ donne $a = x$ , et $b^{2} = 9$ donne $b = 3$ . On vérifie le double produit : $2 ab = 2 \times x \times 3 = 6 x$ , ce qui correspond bien. Donc $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ .

Quand développer et quand factoriser ?

C'est la grande question ! Tout dépend de l'objectif :

On développe pour réduire, comparer deux expressions, ou calculer une valeur numérique. Une somme se calcule facilement.
On factorise pour résoudre une équation produit (du type un produit est nul si l'un des facteurs est nul), pour étudier un signe, ou pour simplifier une fraction.

Petit repère : si on cherche pour quelles valeurs une expression s'annule, il faut presque toujours factoriser. Si on veut juste calculer un résultat, on développe.

Les erreurs fréquentes à éviter

Oublier le double produit : $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ . Pensez toujours à $+ 2 ab$ .
Mal gérer le signe moins : $- (x - 3) = - x + 3$ , pas $- x - 3$ .
Additionner des termes non semblables : $3 x + 2$ ne donne pas $5 x$ .
Confondre $2 x$ et $x^{2}$ : $x + x = 2 x$ (addition), mais $x \times x = x^{2}$ (multiplication).
Factoriser incomplètement : dans $4 x + 8$ , le facteur commun est $4$ et non $2$ ; on écrit $4 (x + 2)$ .

Pour aller plus loin

Le calcul littéral est la base de presque tout le programme : équations, fonctions, étude de signe, second degré. Maîtriser le couple développer / factoriser et les identités remarquables, c'est se donner les moyens de réussir la suite. Le meilleur entraînement reste la pratique régulière.

Continuez votre progression avec notre cours Tronc Commun complet, et entraînez-vous avec nos exercices corrigés pour ancrer ces réflexes. Bon courage !