Équation du second degré : méthode complète avec le discriminant

L'équation du second degré est l'un des piliers du programme de mathématiques au lycée, du Tronc Commun jusqu'à la 1^ère Bac. La maîtriser, c'est débloquer une grande partie de l'algèbre, de l'étude de fonctions et même de la physique. Dans ce guide complet, tu vas apprendre à résoudre une équation du second degré grâce au discriminant, étape par étape, avec des exemples corrigés et les pièges à éviter.

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Une équation du second degré (ou équation quadratique) est une équation qui peut s'écrire sous la forme générale :

$a x^{2} + b x + c = 0$

où $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels appelés coefficients, avec une condition essentielle : $a \neq = 0$ . Si $a = 0$ , le terme $x^{2}$ disparaît et l'équation devient du premier degré.

$a$ est le coefficient de $x^{2}$ (le terme dominant),
$b$ est le coefficient de $x$ ,
$c$ est le terme constant.

Par exemple, dans l'équation $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ , on a $a = 3$ , $b = - 7$ et $c = 2$ . Avant tout calcul, identifie toujours correctement ces trois valeurs en respectant les signes.

À retenir : une équation n'est du second degré que si le coefficient

a

devant

x^{2}

est non nul. Pense à réduire et ordonner l'équation (tout passer du même côté pour avoir

= 0

) avant d'identifier

a

b

c

Le discriminant : la clé de la résolution

Pour résoudre l'équation, on calcule un nombre appelé le discriminant, noté avec la lettre grecque delta $Δ$ :

$Δ = b^{2} - 4 a c$

Le signe du discriminant nous indique combien de solutions (appelées racines) l'équation possède. C'est l'étape décisive : tout dépend de $Δ$ .

Les 3 cas possibles selon le signe de $Δ$

Si $Δ > 0$ : l'équation admet deux racines réelles distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ .
Si $Δ = 0$ : l'équation admet une seule racine (dite racine double) $x_{0}$ .
Si $Δ < 0$ : l'équation n'admet aucune racine réelle (pas de solution dans $R$ ).

Les formules des racines

Une fois le discriminant calculé, les formules dépendent de son signe.

Cas $Δ > 0$ : deux racines

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} et x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$

On résume souvent les deux formules en une seule :

$x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$

Cas $Δ = 0$ : une racine double

$x_{0} = \frac{- b}{2 a}$

Méthode en 4 étapes :

1. Mettre l'équation sous la forme $a x^{2} + b x + c = 0$ et identifier $a$ , $b$ , $c$ .
2. Calculer $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
3. Déterminer le signe de $Δ$ (positif, nul ou négatif).
4. Appliquer la bonne formule pour trouver la ou les racines.

3 exemples résolus pas à pas

Exemple 1 : deux racines ( $Δ > 0$ )

Résolvons $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

On identifie $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ .
$Δ = b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$ .
$Δ = 1 > 0$ : il y a deux racines. De plus $Δ = 1 = 1$ .
$x_{1} = \frac{- ( - 5 ) - 1}{2 \times 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ .
$x_{2} = \frac{- ( - 5 ) + 1}{2 \times 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ .

Les solutions sont donc $x_{1} = 2$ et $x_{2} = 3$ , soit $S = {2; 3}$ .

Exemple 2 : une racine double ( $Δ = 0$ )

Résolvons $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

On identifie $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 4$ .
$Δ = (- 4)^{2} - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$ .
$Δ = 0$ : il y a une racine double.
$x_{0} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- ( - 4 )}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$ .

L'unique solution est $x_{0} = 2$ , soit $S = {2}$ . On remarque d'ailleurs que $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ .

Exemple 3 : aucune solution ( $Δ < 0$ )

Résolvons $2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$ .

On identifie $a = 2$ , $b = 3$ , $c = 5$ .
$Δ = 3^{2} - 4 \times 2 \times 5 = 9 - 40 = - 31$ .
$Δ = - 31 < 0$ : l'équation n'a aucune racine réelle.

L'ensemble des solutions est vide : $S = \emptyset$ .

Factorisation et forme factorisée

Quand $Δ \geq 0$ , on peut écrire le trinôme sous sa forme factorisée, très utile pour étudier le signe d'une expression ou simplifier des fractions :

Si $Δ > 0$ : $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Si $Δ = 0$ : $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{0})^{2}$ .
Si $Δ < 0$ : le trinôme ne se factorise pas dans $R$ .

Par exemple, à partir de l'exemple 1 : $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ . Tu peux vérifier en développant ! Pour t'entraîner sur cette technique, consulte aussi notre article sur comment factoriser un polynôme.

Somme et produit des racines

Il existe deux relations élégantes entre les coefficients et les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ (lorsque $Δ \geq 0$ ) :

$S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} et P = x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$

Ces formules permettent de vérifier rapidement tes solutions. Reprenons l'exemple 1 ( $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ ) : la somme $2 + 3 = 5 = \frac{- ( - 5 )}{1}$ et le produit $2 \times 3 = 6 = \frac{6}{1}$ . Tout est cohérent !

Elles servent aussi à trouver des racines « évidentes » : si tu cherches deux nombres dont la somme vaut $5$ et le produit $6$ , tu trouves immédiatement $2$ et $3$ .

Erreurs fréquentes à éviter :

Oublier le signe : dans $b^{2}$ , le carré rend le résultat positif, mais attention dans $- b$ il faut bien reprendre le signe opposé de $b$ .
Confondre $Δ = b^{2} - 4 a c$ avec $b^{2} - 4 ab$ ou $b - 4 a c$ .
Diviser par $2 a$ seulement le terme $Δ$ et non tout le numérateur $- b \pm Δ$ .
Conclure « pas de solution » dès que $Δ$ semble négatif sans recalculer : une erreur de signe est vite arrivée.
Oublier la condition $a \neq = 0$ : si $a = 0$ , ce n'est plus une équation du second degré.

Mini-récap

Forme générale : $a x^{2} + b x + c = 0$ avec $a \neq = 0$ .
Discriminant : $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
$Δ > 0$ : deux racines $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
$Δ = 0$ : une racine double $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ .
$Δ < 0$ : aucune racine réelle.
Somme $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$ , produit $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Tu maîtrises désormais la méthode complète pour résoudre une équation du second degré. La meilleure façon de progresser, c'est la pratique : entraîne-toi avec nos exercices corrigés et approfondis le chapitre avec les cours de 1ère Bac. Bon courage !

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Le discriminant : la clé de la résolution

Les 3 cas possibles selon le signe de Δ

Les formules des racines

Cas Δ>0 : deux racines

Cas Δ=0 : une racine double