Trigonométrie 1ère Bac : cercle trigonométrique, formules et équations

La trigonométrie est l'un des piliers du programme de mathématiques de 1ère Bac. Elle relie les angles aux longueurs et apparaît partout : en géométrie, en physique, dans les fonctions périodiques. Maîtriser le cercle trigonométrique, les formules trigonométriques et la résolution des équations trigonométriques est indispensable pour réussir vos contrôles et l'examen national. Dans cet article, on reprend tout depuis le début, avec des exemples résolus.

1. Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On l'oriente dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

À tout réel $x$, on associe un point $M$ du cercle obtenu en « enroulant » la droite réelle autour du cercle. On définit alors :

• $\cos x$ : l'abscisse du point $M$ ;
• $\sin x$ : l'ordonnée du point $M$ ;
• $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ (lorsque $\cos x\ne 0$).

Comme $M$ est sur un cercle de rayon $1$, on a toujours $-1\le \cos x\le 1$ et $-1\le \sin x\le 1$.

Radians et conversion

Pour passer des degrés aux radians, on utilise la proportionnalité $180^{\circ }=\pi$ :

• $30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$
• $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$
• $60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$
• $90^{\circ }=\frac{\pi }{2}$
• $360^{\circ }=2\pi$ (un tour complet)

2. La relation fondamentale

C'est la formule la plus importante de toute la trigonométrie. Pour tout réel $x$ :

${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$

Elle découle directement du théorème de Pythagore appliqué dans le cercle de rayon $1$. On en déduit deux formules très utiles :

• ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$
• ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$

Exemple résolu. Sachant que $\sin x=\frac{3}{5}$ et que $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, calculons $\cos x$.

On a ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$. Donc $\cos x=\pm \frac{4}{5}$. Comme $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, le cosinus est positif, d'où $\cos x=\frac{4}{5}$.

3. Les valeurs remarquables

Il faut connaître par cœur le tableau suivant. Ces valeurs remarquables reviennent dans presque tous les exercices.

Astuce mémo : pour $\cos$, lisez $\frac{\sqrt{4}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{0}}{2}$, ce qui donne directement $1,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},0$. Pour $\sin$, c'est l'ordre inverse.

4. Les angles associés

Grâce aux symétries du cercle trigonométrique, on relie les fonctions d'angles « voisins ». Ces formules permettent de ramener n'importe quel calcul aux valeurs remarquables.

• Angles opposés : $\cos (-x)=\cos x$ et $\sin (-x)=-\sin x$.
• Angles supplémentaires : $\cos (\pi -x)=-\cos x$ et $\sin (\pi -x)=\sin x$.
• Différant de $\pi$ : $\cos (\pi +x)=-\cos x$ et $\sin (\pi +x)=-\sin x$.
• Angles complémentaires : $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ et $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$.

Exemple résolu. Calculons $\sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)$. On écrit $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$, donc $\sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$.

5. Les formules d'addition et de duplication

Les formules d'addition sont au programme et servent à développer le cosinus ou le sinus d'une somme d'angles.

• $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
• $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
• $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
• $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

En posant $a=b=x$, on obtient les formules de duplication :

• $\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$
• $\sin (2x)=2\sin x\cos x$

6. Les équations trigonométriques

Résoudre une équation trigonométrique dans $\mathbb{R}$, c'est trouver tous les réels $x$ qui la vérifient. On se ramène toujours à l'une des deux formes de base.

Équation $\cos x=\cos a$

$$\cos x=\cos a⟺x=a+2k\pi \text{ou}x=-a+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Équation $\sin x=\sin a$

$$\sin x=\sin a⟺x=a+2k\pi \text{ou}x=\pi -a+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Exemple résolu 1. Résolvons $\cos x=\frac{1}{2}$ dans $\mathbb{R}$.

On reconnaît $\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$. L'équation devient $\cos x=\cos \frac{\pi }{3}$, d'où :

$$x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \text{ou}x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Exemple résolu 2. Résolvons $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $\mathbb{R}$.

Comme $\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, on a :

$$x=\frac{\pi }{4}+2k\pi \text{ou}x=\pi -\frac{\pi }{4}+2k\pi =\frac{3\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Résolution dans un intervalle

Souvent l'énoncé demande les solutions dans un intervalle donné, par exemple $]-\pi ,\pi ]$. On part de la solution générale, puis on choisit les valeurs de $k$ qui placent $x$ dans l'intervalle.

Exemple résolu 3. Résolvons $\cos x=\frac{1}{2}$ dans $]-\pi ,\pi ]$.

D'après l'exemple 1, $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ ou $x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$.

• Pour $k=0$ : $x=\frac{\pi }{3}\in ]-\pi ,\pi ]$ et $x=-\frac{\pi }{3}\in ]-\pi ,\pi ]$ : convient.
• Pour $k=1$ ou $k=-1$ : les valeurs sortent de l'intervalle.

Les solutions dans $]-\pi ,\pi ]$ sont donc $S=\left\{-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right\}$.

7. Méthode générale et entraînement

Face à une équation trigonométrique, suivez toujours ces étapes :

• Étape 1 : isoler $\cos x$ ou $\sin x$ (factoriser si besoin) ;
• Étape 2 : écrire le second membre comme $\cos a$ ou $\sin a$ avec une valeur remarquable ;
• Étape 3 : appliquer la formule générale avec $k\in \mathbb{Z}$ ;
• Étape 4 : si un intervalle est imposé, sélectionner les bonnes valeurs de $k$.

Pour aller plus loin, retrouvez tout le programme dans nos cours 1ère Bac et entraînez-vous avec nos exercices corrigés dédiés à la trigonométrie. La régularité est la clé : un peu chaque jour vaut mieux qu'une longue révision la veille du contrôle.