Inégalités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Ce chapitre regroupe deux familles de problèmes liés aux inégalités en olympiade :

Partie entière $⌊ x ⌋$ et partie fractionnaire ${x} = x - ⌊ x ⌋$ : encadrement, équations et identités algébriques.
Inégalités classiques : moyennes (AM-GM), Cauchy-Schwarz, réarrangement, et techniques d'encadrement par majoration/minoration successive.

L'objectif principal est de maîtriser les manipulations $⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1$ et de savoir choisir la bonne inégalité pour majorer ou minorer une expression.

🔑 Formules clés à retenir

Partie entière et fractionnaire

$⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1$ | ${x} = x - ⌊ x ⌋ \in [0, 1 [$
$⌊ x + n ⌋ = ⌊ x ⌋ + n$ pour tout $n \in Z$
$⌊ x ⌋ + ⌊ - x ⌋ = {0 - 1 si x \in Z sinon$
Identité d'Hermite : $⌊ n x ⌋ = k = 0 \sum n - 1 ⌊ x + \frac{k}{n} ⌋$

Inégalités classiques

AM-GM : pour $a_{1}, \dots, a_{n} \geq 0$ , $\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} \geq n a_{1} \dots a_{n}$
Cauchy-Schwarz : $(\sum a_{i} b_{i})^{2} \leq (\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2})$
Bernoulli : $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ pour $x \geq - 1$ , $n \in N$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Pour $⌊ x ⌋$ : écris toujours $x = n + α$ avec $n = ⌊ x ⌋$ et $α = {x} \in [0, 1 [$ — ça ramène l'inconnue à un entier + un réel borné.
Encadrement par les bornes : dans $⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1$ , multiplie/additionne intelligemment pour faire apparaître l'expression cible.
AM-GM en pratique : regroupe les termes par paires symétriques avant d'appliquer ; le cas d'égalité ( $a_{1} = \dots = a_{n}$ ) donne souvent le minimum/maximum.
Cauchy-Schwarz en SOS : la forme $\sum \frac{a _{i}^{2}}{b _{i}} \geq \frac{( \sum a _{i} ) ^{2}}{\sum b _{i}}$ (Titu) est très puissante pour les fractions.
Substitution maligne : si l'inégalité est homogène de degré $d$ , normalise par $a + b + c = 1$ ou $ab c = 1$ pour réduire le nombre de variables.

Inégalités

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