Inégalités algébriques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Chapitre extrait du Tome 2 — Analyse du livre « Objectif Olympiades de Mathématiques » de Mohammed Aassila. Tous les exercices proposés sont corrigés en détail.

🔑 Formules clés à retenir

AM-GM-HM : $\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} \geq n a_{1} \dots a_{n} \geq \frac{n}{\sum 1/ a _{i}}$ pour $a_{i} > 0$ .
Cauchy-Schwarz : $(\sum a_{i} b_{i})^{2} \leq (\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2})$ .
Lemme de Titu : $\sum \frac{a _{i}^{2}}{b _{i}} \geq \frac{( \sum a _{i} ) ^{2}}{\sum b _{i}}$ pour $b_{i} > 0$ .
Réarrangement : pour $a_{1} \leq \dots \leq a_{n}$ et $b_{1} \leq \dots \leq b_{n}$ , $\sum a_{i} b_{i}$ est maximale (resp. min) pour les indices identiques (resp. opposés).
Jensen : pour $f$ convexe, $f (\frac{\sum x _{i}}{n}) \leq \frac{\sum f ( x _{i} )}{n}$ .

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Cas d'égalité : repère-le tôt — il indique la bonne stratégie de regroupement.
Normalisation : si l'inégalité est homogène, fixe $\sum a_{i} = 1$ ou $\prod a_{i} = 1$ pour réduire le nombre de variables.
SOS (sum of squares) : montre $E \geq 0$ en l'écrivant comme somme de carrés.
Schur : $a^{t} (a - b) (a - c) + b^{t} (b - a) (b - c) + c^{t} (c - a) (c - b) \geq 0$ pour $t \geq 0$ et $a, b, c \geq 0$ .

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