Théorèmes de Ménélaüs, Céva et applications — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Deux théorèmes fondamentaux pour démontrer des alignements (Ménélaüs) et des concours de droites (Céva) dans un triangle, en utilisant des rapports algébriques.

🔑 Formules clés à retenir

Ménélaüs : pour une transversale coupant les côtés $B C, C A, A B$ en $P, Q, R$ : $\frac{P B}{P C} \cdot \frac{QC}{Q A} \cdot \frac{R A}{R B} = - 1$ .
Céva : pour des droites $A D, B E, C F$ concourantes : $\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} = + 1$ .
Stewart : pour un point $D$ sur $B C$ , $b^{2} m + c^{2} n - a (d^{2} + mn) = 0$ avec $m = B D$ , $n = D C$ .
Ptolémée (quadrilatère cyclique) : $A C \cdot B D = A B \cdot C D + A D \cdot B C$ .

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Rapports orientés : attention aux signes (positif si même sens, négatif sinon).
Réciproque de Céva : très utile pour démontrer que trois droites concourent.
Forme trigonométrique de Céva : $\prod \frac{sin ∠ B A D}{sin ∠ D A C} = 1$ — alternative pratique.

Théorèmes de Ménélaüs, Céva et applications

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