Concours des medianes par le barycentre

Difficile
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Énoncé

Soit un triangle et l'isobarycentre de , , (centre de gravite).

On note le milieu de , le milieu de et le milieu de .

1) Montrer que appartient a la droite et que .

2) Montrer de meme que et . Que peut-on conclure ?

Indices

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1 Indice 1
Rappelle-toi que $G$ isobarycentre de $A,B,C$ est le barycentre de $\{(A,1),(B,1),(C,1)\}$, et que $A'$ milieu de $[BC]$ est le barycentre de $\{(B,1),(C,1)\}$.
2 Indice 2
Utilise le theoreme d'associativite du barycentre pour regrouper $B$ et $C$ en $A'$ affecte du coefficient $1+1=2$, ce qui donne $G$ comme barycentre de $\{(A,1),(A',2)\}$.
3 Indice 3
Un barycentre de deux points appartient a la droite qui les joint : deduis-en que $G\in(AA')$ et calcule $\vec{AG}$ en fonction de $\vec{AA'}$ grace aux coefficients. Repete le raisonnement pour les deux autres medianes.

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La méthode — par où commencer

Rappelle-toi que isobarycentre de est le barycentre de , et que milieu de est le barycentre de .

Utilise le theoreme d'associativite du barycentre pour regrouper et en affecte du coefficient , ce qui donne comme barycentre de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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