Réduction de 3MA + MB et lieu associé

Intermédiaire
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Énoncé

Soient et deux points du plan. Pour tout point , on pose .

1) Montrer qu'il existe un point fixe tel que pour tout .

2) En déduire l'ensemble des points tels que .

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, cherche à faire apparaître un point $G$ en factorisant par $(3+1)$. Pense à la relation du barycentre : si $3\vec{MA}+\vec{MB}=4\vec{MG}$, que représente $G$ pour les points $A$ et $B$ avec les coefficients 3 et 1 ?
2 Indice 2
Pour la question 2, utilise l'égalité trouvée : $\|3\vec{MA}+\vec{MB}\|=\|4\vec{MG}\|=8$. Simplifie cette égalité en sortant le coefficient 4 de la norme, puis exprime-la en fonction de la distance $MG$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, cherche à faire apparaître un point en factorisant par . Pense à la relation du barycentre : si , que représente pour les points et avec les coefficients 3 et 1 ?

Pour la question 2, utilise l'égalité trouvée : . Simplifie cette égalité en sortant le coefficient 4 de la norme, puis exprime-la en fonction de la distance .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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