Alignement du centre de gravité d'un tétraèdre

Difficile

Énoncé

$A B C D$ est un tétraèdre. On note $G$ le centre de gravité (isobarycentre) des quatre points $A, B, C, D$ , c'est-à-dire le point vérifiant $G A + GB + GC + G D = 0$ . On note $G_{1}$ le centre de gravité du triangle $B C D$ .

Montrer que $A G = \frac{3}{4} A G_{1}$ , et en déduire que les points $A$ , $G$ , $G_{1}$ sont alignés.

Indices

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1 Indice 1

Commence par exprimer la relation vectorielle $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ en utilisant la relation de Chasles pour tout écrire à partir du point $A$.

2 Indice 2

Exprime $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$, puis fais de même pour $\overrightarrow{AG_1}$ en sachant que $G_1$ est l'isobarycentre de $B$, $C$ et $D$.

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Commence par exprimer la relation vectorielle $G A + GB + GC + G D = 0$ en utilisant la relation de Chasles pour tout écrire à partir du point $A$ .

Exprime $A G$ en fonction de $A B$ , $A C$ et $A D$ , puis fais de même pour $A G_{1}$ en sachant que $G_{1}$ est l'isobarycentre de $B$ , $C$ et $D$ .

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