Soit f ( x ) = x 2 + 1 définie sur R . 1) Calculer f ′ ( x ) en utilisant ( u ) ′ = 2 u u ′ . 2) Déterminer le sens de variation de f sur R .

Dérivée d'une fonction composée

Intermédiaire

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2} + 1$ définie sur $R$ .

1) Calculer $f^{'} (x)$ en utilisant $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ .

2) Déterminer le sens de variation de $f$ sur $R$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, identifie d'abord la fonction $u(x)$ qui se trouve sous la racine, puis calcule sa dérivée $u'(x)$ avant d'appliquer la formule $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.

2 Indice 2

Pour la question 2, étudie le signe de $f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ : regarde séparément le signe du numérateur et du dénominateur. Que peux-tu dire sur $\sqrt{x^2+1}$ quel que soit $x$ ?

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Pour la question 1, identifie d'abord la fonction $u (x)$ qui se trouve sous la racine, puis calcule sa dérivée $u^{'} (x)$ avant d'appliquer la formule $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ .

Pour la question 2, étudie le signe de $f^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ : regarde séparément le signe du numérateur et du dénominateur. Que peux-tu dire sur $x^{2} + 1$ quel que soit $x$ ?

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