On considère la fonction f définie sur ] 0 , + ∞ [ par f ( x ) = x + x 1 . 1) Montrer que pour tout x ∈ ] 0 , + ∞ [ , f ′ ( x ) = x 2 x 2 − 1 . 2) Étudier le signe de f ′ ( x ) sur ] 0 , + ∞ [ (on remarquera que x 2 > 0 ). 3) Dresser le tableau de variation de f sur ] 0 , + ∞ [ . 4) En déduire que f admet un minimum local sur ] 0 , + ∞ [ et préciser sa valeur.

Extremum d'une fonction rationnelle sur un intervalle

Difficile

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0, + \infty [$ par $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

1) Montrer que pour tout $x \in] 0, + \infty [$ , $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ .

2) Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $] 0, + \infty [$ (on remarquera que $x^{2} > 0$ ).

3) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $] 0, + \infty [$ .

4) En déduire que $f$ admet un minimum local sur $] 0, + \infty [$ et préciser sa valeur.

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, réécris $\dfrac{1}{x}$ sous la forme $x^{-1}$, puis dérive terme à terme en utilisant la formule de dérivation des puissances.

2 Indice 2

Pour la question 2, factorise $x^2-1$ comme une différence de deux carrés : $(x-1)(x+1)$. Puis fais un tableau de signes en te rappelant que $x>0$ sur l'intervalle.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour la question 1, réécris $\frac{1}{x}$ sous la forme $x^{- 1}$ , puis dérive terme à terme en utilisant la formule de dérivation des puissances.

Pour la question 2, factorise $x^{2} - 1$ comme une différence de deux carrés : $(x - 1) (x + 1)$ . Puis fais un tableau de signes en te rappelant que $x > 0$ sur l'intervalle.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Dérivée d'une fonction rationnelle simple Tous les exercices du chapitre Étude d'une fonction rationnelle

Extremum d'une fonction rationnelle sur un intervalle

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Extremum d'une fonction rationnelle sur un intervalle

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯