Étude d'une fonction rationnelle

Difficile

Énoncé

Soit $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ définie sur $R^{*}$ .

1) Calculer $f^{'} (x)$ .

2) Étudier le signe de $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations.

3) Préciser les extremums locaux de $f$ .

4) Déterminer l'équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $a = 1$ .

Indices

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1 Indice 1

Écris $f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x) = x^2+1$ et $v(x) = x$, puis applique la formule $f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

2 Indice 2

Pour étudier le signe de $f'(x)$, factorise le numérateur $x^2 - 1$ en $(x-1)(x+1)$ et remarque que $x^2 > 0$.

3 Indice 3

Pour la tangente en $a=1$, calcule $f(1)$ et $f'(1)$, puis utilise $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

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Écris $f (x) = \frac{u ( x )}{v ( x )}$ avec $u (x) = x^{2} + 1$ et $v (x) = x$ , puis applique la formule $f^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .

Pour étudier le signe de $f^{'} (x)$ , factorise le numérateur $x^{2} - 1$ en $(x - 1) (x + 1)$ et remarque que $x^{2} > 0$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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