Etude complete d'une fonction rationnelle avec asymptote oblique (type examen)

On considere la fonction $f$ definie par $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$ et on note $(\mathcal{C})$ sa courbe.

1) Determiner $D_f$.
2) Montrer que $f$ est impaire.
3) Verifier que pour tout $x\in D_f$, $f(x)=x+\frac{1}{x}$, puis montrer que la droite $(D):y=x$ est asymptote oblique a $(\mathcal{C})$ en $+\infty$ et $-\infty$.
4) Calculer $f^{\prime }(x)$, etudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$.