Soit f la fonction définie par f ( x ) = x − 1 x 2 − 2 x + 2 . 1) Déterminer le domaine de définition D f . 2) Vérifier que pour tout x ∈ D f , f ( x ) = ( x − 1 ) + x − 1 1 , puis en déduire que la droite ( Δ ) : y = x − 1 est asymptote à la courbe ( C ) de f en − ∞ et en + ∞ . 3) Calculer f ′ ( x ) , résoudre f ′ ( x ) = 0 , et dresser le tableau de variations de f .

Fonction rationnelle et asymptote oblique

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Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x - 1}$ .

1) Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ .

2) Vérifier que pour tout $x \in D_{f}$ , $f (x) = (x - 1) + \frac{1}{x - 1}$ , puis en déduire que la droite $(Δ) : y = x - 1$ est asymptote à la courbe $(C)$ de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ .

3) Calculer $f^{'} (x)$ , résoudre $f^{'} (x) = 0$ , et dresser le tableau de variations de $f$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 2, développe d'abord $(x-1)^2$ au numérateur de l'expression $(x-1)+\dfrac{1}{x-1}$, puis mets tout sur le même dénominateur $x-1$.

2 Indice 2

Pour montrer l'asymptote, observe que quand $x\to\pm\infty$, le terme $\dfrac{1}{x-1}$ devient de plus en plus petit. Calcule alors la limite de $f(x)-(x-1)$.

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Pour la question 2, développe d'abord $(x - 1)^{2}$ au numérateur de l'expression $(x - 1) + \frac{1}{x - 1}$ , puis mets tout sur le même dénominateur $x - 1$ .

Pour montrer l'asymptote, observe que quand $x \to \pm \infty$ , le terme $\frac{1}{x - 1}$ devient de plus en plus petit. Calcule alors la limite de $f (x) - (x - 1)$ .

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