Étude complète d'une fonction cubique

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+2$, de courbe $(C)$.

1) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2) Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$.

3) Vérifier que $f^{\prime \prime }(x)=6x$, puis déterminer les coordonnées du point d'inflexion de $(C)$ et l'équation de la tangente en ce point.