On considère le cercle ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 4 = 0 et la droite ( D ) : 4 x − 3 y + m = 0 ( m ∈ R ). 1) Déterminer le centre Ω et le rayon r de ( C ) . 2) Déterminer les valeurs de m pour lesquelles ( D ) est tangente à ( C ) .

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On considère le cercle $(C) : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ et la droite $(D) : 4 x - 3 y + m = 0$ ( $m \in R$ ).

1) Déterminer le centre $Ω$ et le rayon $r$ de $(C)$ .
2) Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $(D)$ est tangente à $(C)$ .

Indices

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1 Indice 1

Mettez l'équation du cercle sous forme canonique en complétant le carré pour $x$ et pour $y$.

2 Indice 2

Une droite est tangente à un cercle si et seulement si la distance du centre à la droite est égale au rayon.

3 Indice 3

Utilisez la formule de distance point-droite $d(\Omega,(D)) = \dfrac{|4x_\Omega - 3y_\Omega + m|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}$ et résolvez l'équation avec valeur absolue.

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Mettez l'équation du cercle sous forme canonique en complétant le carré pour $x$ et pour $y$ .

Une droite est tangente à un cercle si et seulement si la distance du centre à la droite est égale au rayon.

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