Sommes classiques Montrer que pour tout n ∈ N : k = 0 ∑ n ( − 1 ) k C n k = 0 (pour n ≥ 1 ). Calculer S n = k = 0 ∑ n k C n k en fonction de n .

Deux sommes de coefficients binomiaux

Difficile

Montrer que pour tout $n \in N$ : $k = 0 \sum n (- 1)^{k} C_{n}^{k} = 0$ (pour $n \geq 1$ ).
Calculer $S_{n} = k = 0 \sum n k C_{n}^{k}$ en fonction de $n$ .

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1 Indice 1

Pour la première somme, applique la formule du binôme de Newton à $(1+x)^n$ en choisissant une valeur particulière de $x$.

2 Indice 2

Pour la seconde somme, dérive l'identité $(1+x)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n C_n^k x^k$ par rapport à $x$.

3 Indice 3

Après dérivation, évalue l'expression obtenue en $x=1$ pour faire apparaître $S_n$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la première somme, applique la formule du binôme de Newton à $(1 + x)^{n}$ en choisissant une valeur particulière de $x$ .

Pour la seconde somme, dérive l'identité $(1 + x)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} x^{k}$ par rapport à $x$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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