Inégalités issues du binôme de Newton

Intermédiaire
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Minorations

Montrer que pour tout :

  1. ;
  2. .

Indices

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1 Indice 1
Pense à développer $2^n$ comme $(1+1)^n$ et $3^n$ comme $(2+1)^n$ en utilisant la formule du binôme de Newton. Que remarques-tu sur les termes obtenus ?
2 Indice 2
Après avoir développé avec le binôme, identifie les premiers termes : $C_n^0$ et $C_n^1$. Tous les autres termes $C_n^k \times a^k$ pour $k \geq 2$ sont positifs, ce qui te donne l'inégalité cherchée.

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La méthode — par où commencer

Pense à développer comme et comme en utilisant la formule du binôme de Newton. Que remarques-tu sur les termes obtenus ?

Après avoir développé avec le binôme, identifie les premiers termes : et . Tous les autres termes pour sont positifs, ce qui te donne l'inégalité cherchée.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Équation avec coefficients binomiaux Tous les exercices du chapitre Deux sommes de coefficients binomiaux