Soit D = R ∖ { 1 } et f : D → R définie par f ( x ) = x − 1 2 x + 1 . Montrer que f est injective sur D . Montrer que 2 n'a pas d'antécédent par f ; en déduire que f : D → R n'est pas surjective. Montrer que f réalise une bijection de D vers R ∖ { 2 } et déterminer sa réciproque.

Injectivité d'une fonction homographique et restriction

Difficile

Soit $D = R ∖ {1}$ et $f : D \to R$ définie par $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

Montrer que $f$ est injective sur $D$ .
Montrer que $2$ n'a pas d'antécédent par $f$ ; en déduire que $f : D \to R$ n'est pas surjective.
Montrer que $f$ réalise une bijection de $D$ vers $R ∖ {2}$ et déterminer sa réciproque.

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1 Indice 1

Pour l'injectivité, pars de $f(x_1)=f(x_2)$, multiplie en croix, développe et simplifie pour obtenir directement $x_1=x_2$.

2 Indice 2

Pour montrer que 2 n'a pas d'antécédent, résous $\dfrac{2x+1}{x-1}=2$ et observe que cela mène à une égalité impossible.

3 Indice 3

Pour la bijection, résous $f(x)=y$ pour $y\neq2$ en isolant $x$, puis vérifie que la solution trouvée n'est jamais égale à 1.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour l'injectivité, pars de $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , multiplie en croix, développe et simplifie pour obtenir directement $x_{1} = x_{2}$ .

Pour montrer que 2 n'a pas d'antécédent, résous $\frac{2 x + 1}{x - 1} = 2$ et observe que cela mène à une égalité impossible.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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