Plan tangent à une sphère et inégalité

On considère les points $A(2;2;2)$, $B(2;4;0)$, $C(6;2;-2)$ et la sphère $(S)$ de centre $\Omega (3;3;3)$ et de rayon $r=\sqrt{3}$.

1. a) Montrer que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés. b) Montrer que $\vec{n}(1;1;1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. c) Vérifier que $x+y+z-6=0$ est une équation cartésienne de $(ABC)$.
2. a) Montrer que $(ABC)$ est tangent à $(S)$ et que $A\in (S)$. b) Déterminer les coordonnées du point de contact de $(ABC)$ et $(S)$.
3. Soit $M(a;b;c)$ un point du plan $(ABC)$. a) Montrer que $\Omega M\ge r$. b) En déduire que $a^2+b^2+c^2\ge 12$.