L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j , k ) . On considère les vecteurs u ( 1 ; 1 ; 0 ) et v ( 1 ; 1 ; 2 ) . Calculer u ⋅ v , ∥ u ∥ et ∥ v ∥ . En déduire la valeur de cos θ , où θ est l'angle entre u et v . Déterminer une mesure de l'angle θ .

Angle entre deux vecteurs de l'espace

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L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ . On considère les vecteurs $u (1; 1; 0)$ et $v (1; 1; 2)$ .

Calculer $u \cdot v$ , $∥ u ∥$ et $∥ v ∥$ .
En déduire la valeur de $cos θ$ , où $θ$ est l'angle entre $u$ et $v$ .
Déterminer une mesure de l'angle $θ$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$, multiplie les composantes deux à deux puis additionne : $(1)(1)+(1)(1)+(0)(2)$. Pour les normes, utilise $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

2 Indice 2

Une fois que tu as $\vec{u}\cdot\vec{v}$, $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$, applique la formule $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}$. N'oublie pas de simplifier la fraction obtenue en rationalisant si nécessaire.

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Pour calculer le produit scalaire $u \cdot v$ , multiplie les composantes deux à deux puis additionne : $(1) (1) + (1) (1) + (0) (2)$ . Pour les normes, utilise $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

Une fois que tu as $u \cdot v$ , $∥ u ∥$ et $∥ v ∥$ , applique la formule $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \times ∥ v ∥}$ . N'oublie pas de simplifier la fraction obtenue en rationalisant si nécessaire.

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