Sphère tangente à un plan et point de contact

Difficile
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Énoncé

On considère les points , , .

  1. Montrer que est une équation cartésienne du plan .
  2. Déterminer une équation cartésienne de la sphère de centre et tangente à .
  3. Déterminer les coordonnées de , point de contact de et .

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, trouve un vecteur normal $\vec{n}$ au plan en montrant qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan comme $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2 Indice 2
Pour la question 2, le rayon de la sphère tangente au plan est la distance du centre $O$ au plan ; utilise la formule de distance point-plan.
3 Indice 3
Pour la question 3, le point de contact est le projeté orthogonal de $O$ sur le plan, situé sur la droite dirigée par $\vec{n}$ passant par $O$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, trouve un vecteur normal au plan en montrant qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan comme et .

Pour la question 2, le rayon de la sphère tangente au plan est la distance du centre au plan ; utilise la formule de distance point-plan.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Vecteur normal et représentation paramétrique Tous les exercices du chapitre Angle entre deux vecteurs de l'espace