L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j , k ) . Soit ( S ) la sphère de centre Ω ( 2 ; − 1 ; 1 ) et de rayon R = 3 , et le point T ( 4 ; 1 ; 2 ) . Vérifier que T appartient à ( S ) . Déterminer une équation cartésienne du plan ( P ) tangent à ( S ) en T . Vérifier que d ( Ω , ( P )) = R .

Plan tangent à une sphère en un point

Difficile

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ . Soit $(S)$ la sphère de centre $Ω (2; - 1; 1)$ et de rayon $R = 3$ , et le point $T (4; 1; 2)$ .

Vérifier que $T$ appartient à $(S)$ .
Déterminer une équation cartésienne du plan $(P)$ tangent à $(S)$ en $T$ .
Vérifier que $d (Ω, (P)) = R$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour verifier que $T$ appartient a $(S)$, calcule $\\Omega T$ (ou $\\Omega T^2$) et compare a $R$.

2 Indice 2

Le plan tangent en $T$ a pour vecteur normal $\\overrightarrow{\\Omega T}$ et passe par $T$ : utilise la forme $a(x-x_T)+b(y-y_T)+c(z-z_T)=0$.

3 Indice 3

Pour la question 3, recalcule $d(\\Omega,(P))$ avec la formule de distance point-plan et compare a $R$.

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Pour verifier que $T$ appartient a $(S)$ , calcule $O m e g a T$ (ou $O m e g a T^{2}$ ) et compare a $R$ .

Le plan tangent en $T$ a pour vecteur normal $o v er r i g h t a r r o w O m e g a T$ et passe par $T$ : utilise la forme $a (x - x_{T}) + b (y - y_{T}) + c (z - z_{T}) = 0$ .

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