L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j , k ) . Soit ( S ) la sphère de centre Ω ( 0 ; 1 ; 2 ) et de rayon R = 5 , et le plan ( P ) : 2 x + 2 y − z + 4 = 0 . Calculer la distance d ( Ω , ( P )) et vérifier que ( P ) coupe ( S ) selon un cercle. Déterminer le rayon r de ce cercle. Déterminer les coordonnées du centre H de ce cercle (projeté orthogonal de Ω sur ( P ) ).

Centre et rayon du cercle d'intersection

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L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ . Soit $(S)$ la sphère de centre $Ω (0; 1; 2)$ et de rayon $R = 5$ , et le plan $(P) : 2 x + 2 y - z + 4 = 0$ .

Calculer la distance $d (Ω, (P))$ et vérifier que $(P)$ coupe $(S)$ selon un cercle.
Déterminer le rayon $r$ de ce cercle.
Déterminer les coordonnées du centre $H$ de ce cercle (projeté orthogonal de $Ω$ sur $(P)$ ).

Indices

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1 Indice 1

Utilise la formule de la distance point-plan $d(\\Omega,(P))=\\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ avec les coordonnées de $\\Omega$.

2 Indice 2

Compare cette distance à $R=5$ : si $d

3 Indice 3

Pour trouver $H$, paramètre la droite passant par $\\Omega$ de vecteur directeur $\\vec{n}$ (normal au plan), puis reporte dans l'équation de $(P)$ pour trouver le paramètre.

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Utilise la formule de la distance point-plan $d (O m e g a, (P)) = df r a c ∣ a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d ∣ s q r t a^{2} + b^{2} + c^{2}$ avec les coordonnées de $O m e g a$ .

Compare cette distance à $R = 5$ : si $d < R$ , le plan coupe la sphère selon un cercle de rayon $r = s q r t R^{2} - d^{2}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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