Reconnaître une sphère par forme canonique

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Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct . On considère l'ensemble des points vérifiant : .

  1. Écrire cette équation sous forme canonique.
  2. En déduire que est une sphère dont on précisera le centre et le rayon .

Indices

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1 Indice 1
Pour transformer cette équation en forme canonique, essaie de regrouper séparément les termes en $x$, en $y$ et en $z$, puis complète chaque groupe en carré parfait en ajoutant et retranchant les termes nécessaires.
2 Indice 2
Commence par $x^2-2x$ : ajoute et soustrais $1$ pour obtenir $(x-1)^2-1$. Fais de même avec $y^2+4y$ et $z^2-6z$. Ensuite, simplifie tous les termes constants pour obtenir une égalité de la forme $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$.

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La méthode — par où commencer

Pour transformer cette équation en forme canonique, essaie de regrouper séparément les termes en , en et en , puis complète chaque groupe en carré parfait en ajoutant et retranchant les termes nécessaires.

Commence par : ajoute et soustrais pour obtenir . Fais de même avec et . Ensuite, simplifie tous les termes constants pour obtenir une égalité de la forme .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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