L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j , k ) . On considère les points A ( 1 ; 0 ; 2 ) , B ( 3 ; 2 ; 2 ) et C ( 2 ; − 1 ; 4 ) . Calculer ∥ A B ∥ , ∥ A C ∥ et A B ⋅ A C . En déduire cos B A C puis sin B A C . Calculer l'aire du triangle A B C à l'aide de la formule A = 2 1 ∥ A B ∥ ∥ A C ∥ sin B A C .

Aire d'un triangle via le produit scalaire

Difficile

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ . On considère les points $A (1; 0; 2)$ , $B (3; 2; 2)$ et $C (2; - 1; 4)$ .

Calculer $∥ A B ∥$ , $∥ A C ∥$ et $A B \cdot A C$ .
En déduire $cos B A C$ puis $sin B A C$ .
Calculer l'aire du triangle $A B C$ à l'aide de la formule $A = \frac{1}{2} ∥ A B ∥ ∥ A C ∥ sin B A C$ .

Indices

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1 Indice 1

Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ en faisant la différence des coordonnées des points, puis applique la formule de la norme $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

2 Indice 2

Pour le produit scalaire, utilise $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$, puis la formule $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|\,\|\overrightarrow{AC}\|}$.

3 Indice 3

Une fois $\cos\widehat{BAC}$ connu, utilise $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ pour trouver $\sin\widehat{BAC}$, puis remplace dans la formule de l'aire.

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Calcule les coordonnées de $A B$ et $A C$ en faisant la différence des coordonnées des points, puis applique la formule de la norme $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

Pour le produit scalaire, utilise $A B \cdot A C = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$ , puis la formule $cos B A C = \frac{A B \cdot A C}{∥ A B ∥ ∥ A C ∥}$ .

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