L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j , k ) . On considère les plans ( P ) : x − 2 y + z − 3 = 0 et ( Q ) : 2 x + m y − 4 z + 1 = 0 , où m est un réel. Donner un vecteur normal de chacun des plans ( P ) et ( Q ) . Déterminer la valeur de m pour laquelle ( P ) et ( Q ) sont perpendiculaires.

Perpendicularité de deux plans

Difficile

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ . On considère les plans $(P) : x - 2 y + z - 3 = 0$ et $(Q) : 2 x + m y - 4 z + 1 = 0$ , où $m$ est un réel.

Donner un vecteur normal de chacun des plans $(P)$ et $(Q)$ .
Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.

Indices

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1 Indice 1

Un vecteur normal d'un plan $ax+by+cz+d=0$ a pour coordonnées $(a;b;c)$.

2 Indice 2

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs normaux est nul.

3 Indice 3

Calcule $\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2$ en fonction de $m$ puis résous l'équation obtenue.

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Un vecteur normal d'un plan $a x + b y + cz + d = 0$ a pour coordonnées $(a; b; c)$ .

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs normaux est nul.

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