L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j , k ) . On considère les points A ( 1 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 2 ; 0 ) et C ( 0 ; 0 ; 3 ) . Déterminer les coordonnées des vecteurs A B et A C . Déterminer un vecteur normal n du plan ( A B C ) . En déduire une équation cartésienne du plan ( A B C ) . Calculer la distance de l'origine O au plan ( A B C ) .

Plan défini par trois points

Difficile

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L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ . On considère les points $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ et $C (0; 0; 3)$ .

Déterminer les coordonnées des vecteurs $A B$ et $A C$ .
Déterminer un vecteur normal $n$ du plan $(A B C)$ .
En déduire une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
Calculer la distance de l'origine $O$ au plan $(A B C)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ en soustrayant les coordonnées de $A$ à celles de $B$ et $C$.

2 Indice 2

Pour trouver un vecteur normal, cherche $\vec{n}(a;b;c)$ vérifiant $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} = 0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} = 0$, ce qui donne un système à résoudre.

3 Indice 3

Utilise ensuite la forme $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$ pour l'équation du plan, puis la formule de distance point-plan pour la dernière question.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, calcule les coordonnées de $A B$ et $A C$ en soustrayant les coordonnées de $A$ à celles de $B$ et $C$ .

Pour trouver un vecteur normal, cherche $n (a; b; c)$ vérifiant $n \cdot A B = 0$ et $n \cdot A C = 0$ , ce qui donne un système à résoudre.

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