L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j , k ) . On considère le plan ( P ) : 2 x − 2 y + z − 4 = 0 et le point A ( 3 ; 1 ; − 2 ) . Donner un vecteur normal n du plan ( P ) . Calculer la distance d ( A , ( P )) . Déterminer les coordonnées du point d'intersection de ( P ) avec l'axe ( O , k ) .

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L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ . On considère le plan $(P) : 2 x - 2 y + z - 4 = 0$ et le point $A (3; 1; - 2)$ .

Donner un vecteur normal $n$ du plan $(P)$ .
Calculer la distance $d (A, (P))$ .
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(P)$ avec l'axe $(O, k)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver un vecteur normal au plan $(P):2x-2y+z-4=0$, regarde les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans l'équation du plan. Ces coefficients forment directement les coordonnées de $\vec{n}$.

2 Indice 2

Pour la distance, utilise la formule $d(A,(P))=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ où $a=2$, $b=-2$, $c=1$, $d=-4$. Remplace les coordonnées de $A(3;1;-2)$ et calcule.

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Pour trouver un vecteur normal au plan $(P) : 2 x - 2 y + z - 4 = 0$ , regarde les coefficients de $x$ , $y$ et $z$ dans l'équation du plan. Ces coefficients forment directement les coordonnées de $n$ .

Pour la distance, utilise la formule $d (A, (P)) = \frac{∣ a x _{A} + b y _{A} + c z _{A} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ où $a = 2$ , $b = - 2$ , $c = 1$ , $d = - 4$ . Remplace les coordonnées de $A (3; 1; - 2)$ et calcule.

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