Aire d'un triangle et volume de tétraèdre

Difficile
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Énoncé

Dans un repère orthonormé direct, on considère , , et .

  1. Calculer .
  2. En déduire l'aire du triangle .
  3. Calculer le volume du tétraèdre .
  4. En déduire la distance de au plan .

Indices

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1 Indice 1
Calcule d'abord les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ en soustrayant les coordonnées des points, puis applique la formule du produit vectoriel composante par composante.
2 Indice 2
L'aire du triangle $ABC$ s'obtient à partir de la norme du vecteur produit vectoriel : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$.
3 Indice 3
Pour le volume, calcule le produit mixte $(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD}$ puis divise par $6$. Pour la distance, utilise $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{A}(ABC)\times d$ et isole $d$.

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La méthode — par où commencer

Calcule d'abord les coordonnées des vecteurs et en soustrayant les coordonnées des points, puis applique la formule du produit vectoriel composante par composante.

L'aire du triangle s'obtient à partir de la norme du vecteur produit vectoriel : .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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