Soient u ( 1 ; 1 ; 0 ) et v ( 1 ; 0 ; 1 ) . Calculer ∥ u ∧ v ∥ et u ⋅ v . En déduire sin θ et cos θ où θ = ( u , v ) . Déterminer la mesure de l'angle θ .

Angle entre deux vecteurs par le produit vectoriel

Difficile

Énoncé

Soient $u (1; 1; 0)$ et $v (1; 0; 1)$ .

Calculer $∥ u \land v ∥$ et $u \cdot v$ .
En déduire $sin θ$ et $cos θ$ où $θ = (u, v)$ .
Déterminer la mesure de l'angle $θ$ .

Indices

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1 Indice 1

Calcule les trois composantes du produit vectoriel $\vec{u}\wedge\vec{v}$ une par une, puis sa norme.

2 Indice 2

Calcule aussi le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ et les normes $\|\vec{u}\|$, $\|\vec{v}\|$.

3 Indice 3

Utilise les formules $\sin\theta=\dfrac{\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$ et $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$ pour identifier l'angle usuel correspondant.

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Calcule les trois composantes du produit vectoriel $u \land v$ une par une, puis sa norme.

Calcule aussi le produit scalaire $u \cdot v$ et les normes $∥ u ∥$ , $∥ v ∥$ .

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