Dans un repère orthonormé direct, on considère A ( 1 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 2 ; 0 ) , C ( 0 ; 0 ; 2 ) et le point Ω ( 2 ; 2 ; 2 ) . Déterminer une équation cartésienne du plan ( A B C ) à l'aide de A B ∧ A C . Calculer la distance d ( Ω , ( A B C )) . En déduire le rayon de la sphère de centre Ω tangente au plan ( A B C ) .

Plan, distance et sphère tangente

Difficile

Énoncé

Dans un repère orthonormé direct, on considère $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 2)$ et le point $Ω (2; 2; 2)$ .

Déterminer une équation cartésienne du plan $(A B C)$ à l'aide de $A B \land A C$ .
Calculer la distance $d (Ω, (A B C))$ .
En déduire le rayon de la sphère de centre $Ω$ tangente au plan $(A B C)$ .

Indices

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1 Indice 1

Calcule les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$, puis leur produit vectoriel $\\overrightarrow{AB}\\wedge\\overrightarrow{AC}$ pour obtenir un vecteur normal au plan.

2 Indice 2

Utilise ce vecteur normal $(a;b;c)$ pour ecrire l'equation $ax+by+cz+d=0$, puis determine $d$ en imposant que $A$ appartienne au plan.

3 Indice 3

Pour la distance d'un point $\\Omega(x_0;y_0;z_0)$ a un plan $ax+by+cz+d=0$, utilise la formule $d = \\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

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Calcule les vecteurs $o v er r i g h t a r r o w A B$ et $o v er r i g h t a r r o w A C$ , puis leur produit vectoriel $o v er r i g h t a r r o w A B w e d g e o v er r i g h t a r r o w A C$ pour obtenir un vecteur normal au plan.

Utilise ce vecteur normal $(a; b; c)$ pour ecrire l'equation $a x + b y + cz + d = 0$ , puis determine $d$ en imposant que $A$ appartienne au plan.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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