On considère u ( 1 ; 0 ; 1 ) , v ( 1 ; 1 ; 0 ) et w ( 0 ; 1 ; m ) où m est un réel. Calculer u ∧ v . Exprimer le produit mixte ( u ∧ v ) ⋅ w en fonction de m . Déterminer m pour que les trois vecteurs soient coplanaires. Pour m = 3 , calculer le volume du parallélépipède construit sur u , v , w .

Volume d'un parallélépipède et coplanarité

Difficile

On considère $u (1; 0; 1)$ , $v (1; 1; 0)$ et $w (0; 1; m)$ où $m$ est un réel.

Calculer $u \land v$ .
Exprimer le produit mixte $(u \land v) \cdot w$ en fonction de $m$ .
Déterminer $m$ pour que les trois vecteurs soient coplanaires.
Pour $m = 3$ , calculer le volume du parallélépipède construit sur $u$ , $v$ , $w$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour le produit vectoriel $\\vec{u}\\wedge\\vec{v}$, utilise la formule composante par composante avec $\\vec{u}(1;0;1)$ et $\\vec{v}(1;1;0)$.

2 Indice 2

Le produit mixte est $(\\vec{u}\\wedge\\vec{v})\\cdot\\vec{w}$ : fais le produit scalaire du resultat de la question 1 avec $\\vec{w}(0;1;m)$.

3 Indice 3

Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul. Pour le volume, prends la valeur absolue du produit mixte.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour le produit vectoriel $v ec u w e d g e v ec v$ , utilise la formule composante par composante avec $v ec u (1; 0; 1)$ et $v ec v (1; 1; 0)$ .

Le produit mixte est $(v ec u w e d g e v ec v) c d o t v ec w$ : fais le produit scalaire du resultat de la question 1 avec $v ec w (0; 1; m)$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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