Soient u ( 1 ; 2 ; − 2 ) et v ( 2 ; 0 ; 1 ) . Calculer ∥ u ∥ 2 , ∥ v ∥ 2 et u ⋅ v . Calculer u ∧ v puis ∥ u ∧ v ∥ 2 . Vérifier l'identité ∥ u ∧ v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 .

Identité de Lagrange

Difficile

Énoncé

Soient $u (1; 2; - 2)$ et $v (2; 0; 1)$ .

Calculer $∥ u ∥^{2}$ , $∥ v ∥^{2}$ et $u \cdot v$ .
Calculer $u \land v$ puis $∥ u \land v ∥^{2}$ .
Vérifier l'identité $∥ u \land v ∥^{2} + (u \cdot v)^{2} = ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour $\\|\\vec{u}\\|^2$, $\\|\\vec{v}\\|^2$ et $\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$, applique les formules usuelles avec les coordonnees.

2 Indice 2

Pour le produit vectoriel $\\vec{u}\\wedge\\vec{v}$, calcule chaque composante avec la regle des determinants $2\\times 2$.

3 Indice 3

Une fois les trois quantites obtenues, remplace-les dans l'identite $\\|\\vec{u}\\wedge\\vec{v}\\|^2+(\\vec{u}\\cdot\\vec{v})^2=\\|\\vec{u}\\|^2\\,\\|\\vec{v}\\|^2$ pour verifier l'egalite.

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Pour $∣ v ec u ∣^{2}$ , $∣ v ec v ∣^{2}$ et $v ec u c d o t v ec v$ , applique les formules usuelles avec les coordonnees.

Pour le produit vectoriel $v ec u w e d g e v ec v$ , calcule chaque composante avec la regle des determinants $2 t im es 2$ .

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