On considère A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( 1 ; 1 ; 0 ) , C ( 1 ; 0 ; 1 ) et S ( 2 ; 3 ; 4 ) . Déterminer une équation cartésienne du plan ( A B C ) . Calculer la distance d ( S , ( A B C )) directement à partir de l'équation. Retrouver cette distance en utilisant le volume du tétraèdre S A B C .

Distance d'un point à un plan par le volume

Difficile

Énoncé

On considère $A (0; 0; 0)$ , $B (1; 1; 0)$ , $C (1; 0; 1)$ et $S (2; 3; 4)$ .

Déterminer une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
Calculer la distance $d (S, (A B C))$ directement à partir de l'équation.
Retrouver cette distance en utilisant le volume du tétraèdre $S A B C$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour l'equation du plan, calcule le produit vectoriel $\\overrightarrow{AB}\\wedge\\overrightarrow{AC}$ pour obtenir un vecteur normal.

2 Indice 2

Utilise ensuite les coordonnees de $A$ pour determiner la constante dans l'equation $x-y-z+d=0$.

3 Indice 3

Pour la distance, applique $d(S,(ABC))=\\dfrac{|ax_S+by_S+cz_S+d|}{\\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

4 Indice 4

Pour la methode du volume, relie l'aire du triangle $ABC$, le volume du tetraedre et la distance par $V=\\dfrac{1}{3}\\times\\text{Aire}\\times d$.

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Pour l'equation du plan, calcule le produit vectoriel $o v er r i g h t a r r o w A B w e d g e o v er r i g h t a r r o w A C$ pour obtenir un vecteur normal.

Utilise ensuite les coordonnees de $A$ pour determiner la constante dans l'equation $x - y - z + d = 0$ .

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