Théorème de Napoléon (cas direct)

Difficile
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Énoncé

Soit ABC un triangle quelconque. On construit trois triangles équilatéraux BCA', CAB', ABC' à l'extérieur de ABC. On note P, Q, R les centres de gravité de ces trois triangles.

  1. Exprimer en affixes la rotation de centre A' et d'angle 2/3 qui envoie B sur C.
  2. (Ébauche) Montrer que le triangle PQR est équilatéral (théorème de Napoléon).

Indices

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1 Indice 1
Une rotation d'angle $\theta$ et de centre $\Omega$ (affixe $z_\Omega$) envoie un point d'affixe $z$ sur un point d'affixe $z'$ vérifiant $z'-z_\Omega = e^{i\theta}(z-z_\Omega)$.
2 Indice 2
Ici applique cette relation avec $\Omega=A'$, $\theta=2\pi/3$, l'image de $B$ étant $C$.
3 Indice 3
Pour l'ébauche du théorème de Napoléon, pense à composer trois rotations d'angle $2\pi/3$ chacune : la somme des angles vaut $2\pi$, donc la composée est une translation qu'il faut identifier.

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La méthode — par où commencer

Une rotation d'angle et de centre (affixe ) envoie un point d'affixe sur un point d'affixe vérifiant .

Ici applique cette relation avec , , l'image de étant .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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