BAC — Triangle équilatéral par rotation d'angle 60°

Difficile
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Énoncé

(Type BAC) Dans le plan complexe, soient O l'origine et A d'affixe 1. On note r = R(O, ) la rotation de centre O et d'angle .

  1. Écrire l'affixe de A' = r(A). ()
  2. Soit B d'affixe 3. Calculer les affixes de B' = r(B) et B'' = r(B').
  3. Montrer que le triangle OAA' est équilatéral.
  4. Montrer que les triangles OAA', OBB', OB'B'' sont tous isométriques.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour l'image par une rotation d'angle $\\theta$ et de centre O, l'affixe de l'image est $z' = e^{i\\theta}\\times z$.
2 Indice 2
Pour montrer qu'un triangle est equilateral, calcule les trois longueurs $OA$, $OA'$, $AA'$ en utilisant le module des affixes ($|OA|=|z_A|$, etc.).
3 Indice 3
Une rotation conserve les distances : utilise ce fait pour comparer les triangles $OAA'$, $OBB'$, $OB'B''$ sans refaire tous les calculs.

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La méthode — par où commencer

Pour l'image par une rotation d'angle et de centre O, l'affixe de l'image est .

Pour montrer qu'un triangle est equilateral, calcule les trois longueurs , , en utilisant le module des affixes (, etc.).

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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