BAC — Points fixes et cercle associé à une rotation

Difficile
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Énoncé

(Type BAC) Soit r la rotation de centre et d'angle .

  1. Écrire l'expression complexe de r. (, )
  2. Montrer que le seul point fixe de r est .
  3. Déterminer l'image du point par r.
  4. Écrire l'équation cartésienne du cercle de centre passant par .
  5. Montrer que l'image de par r est elle-même.

Indices

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1 Indice 1
L'écriture complexe d'une rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\theta$ est $z' - \omega = e^{i\theta}(z-\omega)$ ; développe pour obtenir la forme $z' = az+b$.
2 Indice 2
Les points fixes vérifient $z=z'$ ; résous l'équation obtenue en factorisant par $z$.
3 Indice 3
Pour le cercle image, rappelle qu'une rotation conserve les distances et donc transforme un cercle de centre $\Omega$ en un cercle de même centre et même rayon si $\Omega$ est fixe.

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La méthode — par où commencer

L'écriture complexe d'une rotation de centre d'affixe et d'angle est ; développe pour obtenir la forme .

Les points fixes vérifient ; résous l'équation obtenue en factorisant par .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Composée de deux rotations — détermination complète Tous les exercices du chapitre BAC — Triangle équilatéral par rotation d'angle 60°