Équations $a\cos x+b\sin x$ et produit

Difficile
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Énoncé

Trois équations linéaires en et

Résoudre dans les équations :

Indices

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1 Indice 1
Pour $(E_1)$, écrivez $\cos x-\sqrt3\sin x$ sous la forme $R\cos(x+\varphi)$ en calculant $R=\sqrt{a^2+b^2}$ avec $a=1$, $b=\sqrt3$, puis identifiez $\varphi$ tel que $\cos\varphi=a/R$ et $\sin\varphi=b/R$.
2 Indice 2
Pour $(E_2)$, vérifiez que $\cos x=0$ n'est pas solution, puis divisez toute l'équation par $\cos x$ pour faire apparaître $\tan x$ ; identifiez ensuite l'angle dont la tangente vaut cette valeur.
3 Indice 3
Pour $(E_3)$, utilisez la formule de transformation produit-somme $\cos p\cos q=\dfrac12[\cos(p-q)+\cos(p+q)]$ avec $p=x+\pi/6$ et $q=x-\pi/6$.

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Pour , écrivez sous la forme en calculant avec , , puis identifiez tel que et .

Pour , vérifiez que n'est pas solution, puis divisez toute l'équation par pour faire apparaître ; identifiez ensuite l'angle dont la tangente vaut cette valeur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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