Une entreprise vend une quantité x d'un produit ( 0 < x ≤ 20 , en centaines d'unités). La recette totale est R ( x ) = 60 x − x 2 (en milliers de dirhams). Le coût total est C ( x ) = 3 1 x 3 − 6 x 2 + 50 x + 12 (en milliers de dirhams). On note B ( x ) = R ( x ) − C ( x ) le bénéfice. Montrer que B ( x ) = − 3 1 x 3 + 5 x 2 + 10 x − 12 . Calculer B ′ ( x ) et étudier son signe sur ] 0 ; 20 ] . En déduire la quantité qui maximise le bénéfice et calculer ce bénéfice maximal.

Maximisation du profit (type examen)

Difficile

Énoncé

Une entreprise vend une quantité $x$ d'un produit ( $0 < x \leq 20$ , en centaines d'unités).

La recette totale est $R (x) = 60 x - x^{2}$ (en milliers de dirhams).
Le coût total est $C (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 6 x^{2} + 50 x + 12$ (en milliers de dirhams).

On note $B (x) = R (x) - C (x)$ le bénéfice.

Montrer que $B (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 5 x^{2} + 10 x - 12$ .
Calculer $B^{'} (x)$ et étudier son signe sur $] 0; 20]$ .
En déduire la quantité qui maximise le bénéfice et calculer ce bénéfice maximal.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, développe $-\left(\dfrac{1}{3}x^3 - 6x^2 + 50x + 12\right)$ terme par terme en distribuant le signe moins, puis regroupe avec $60x - x^2$.

2 Indice 2

Pour $B'(x)$, dérive chaque terme de $-\dfrac{1}{3}x^3 + 5x^2 + 10x - 12$ séparément : dérivée de $x^3$, de $x^2$, de $x$.

3 Indice 3

Pour étudier le signe de $-x^2+10x+10$, calcule le discriminant $\Delta = b^2-4ac$ puis les racines ; le coefficient de $x^2$ étant négatif, le trinôme est positif entre les racines.

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Pour la question 1, développe $- (\frac{1}{3} x^{3} - 6 x^{2} + 50 x + 12)$ terme par terme en distribuant le signe moins, puis regroupe avec $60 x - x^{2}$ .

Pour $B^{'} (x)$ , dérive chaque terme de $- \frac{1}{3} x^{3} + 5 x^{2} + 10 x - 12$ séparément : dérivée de $x^{3}$ , de $x^{2}$ , de $x$ .

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