Le coût total de production de x centaines d'unités est : C ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 20 x + 50 , x ∈ [ 0 ; 6 ] . Calculer C ′ ( x ) (coût marginal), puis C ′′ ( x ) . Étudier le signe de C ′′ ( x ) et en déduire la concavité de la courbe de C . Déterminer le point d'inflexion et interpréter : à partir de quelle production le coût marginal cesse-t-il de diminuer ?

Dérivée seconde, concavité et point d'inflexion

Difficile

Le coût total de production de $x$ centaines d'unités est :

$C (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 20 x + 50, x \in [0; 6] .$

Calculer $C^{'} (x)$ (coût marginal), puis $C^{''} (x)$ .
Étudier le signe de $C^{''} (x)$ et en déduire la concavité de la courbe de $C$ .
Déterminer le point d'inflexion et interpréter : à partir de quelle production le coût marginal cesse-t-il de diminuer ?

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1 Indice 1

Dérive $C(x)$ une première fois pour obtenir $C'(x)$, puis dérive à nouveau pour obtenir $C''(x)$.

2 Indice 2

Résous $C''(x)=0$ pour trouver la valeur critique, puis étudie le signe de $C''(x)$ de part et d'autre.

3 Indice 3

Le point d'inflexion correspond au changement de signe de $C''$ ; calcule ensuite $C$ en cette valeur pour obtenir ses coordonnées.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Dérive $C (x)$ une première fois pour obtenir $C^{'} (x)$ , puis dérive à nouveau pour obtenir $C^{''} (x)$ .

Résous $C^{''} (x) = 0$ pour trouver la valeur critique, puis étudie le signe de $C^{''} (x)$ de part et d'autre.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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