Le coût total de production de x unités ( x > 0 ) est, en dirhams : C ( x ) = 2 x 2 + 8 x + 200. Le coût moyen unitaire est C M ( x ) = x C ( x ) . 1. Exprimer C M ( x ) , puis calculer C M ′ ( x ) . 2. Déterminer la quantité x qui minimise le coût moyen et la valeur de ce minimum.

Optimisation : minimiser le coût moyen

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Le coût total de production de $x$ unités ( $x > 0$ ) est, en dirhams :

$C (x) = 2 x^{2} + 8 x + 200.$

Le coût moyen unitaire est $C_{M} (x) = \frac{C ( x )}{x}$ .

1. Exprimer $C_{M} (x)$ , puis calculer $C_{M}^{'} (x)$ .
2. Déterminer la quantité $x$ qui minimise le coût moyen et la valeur de ce minimum.

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1 Indice 1

Pour la question 1, commence par diviser chaque terme du numérateur par $x$ pour simplifier $C_M(x)$. Tu peux ensuite réécrire $\dfrac{200}{x}$ sous la forme $200x^{-1}$ pour dériver plus facilement.

2 Indice 2

Pour la question 2, résous l'équation $C_M'(x) = 0$, c'est-à-dire $2 - \dfrac{200}{x^2} = 0$. Isole $x^2$ en passant la fraction de l'autre côté, puis prends la racine carrée positive.

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Pour la question 1, commence par diviser chaque terme du numérateur par $x$ pour simplifier $C_{M} (x)$ . Tu peux ensuite réécrire $\frac{200}{x}$ sous la forme $200 x^{- 1}$ pour dériver plus facilement.

Pour la question 2, résous l'équation $C_{M}^{'} (x) = 0$ , c'est-à-dire $2 - \frac{200}{x ^{2}} = 0$ . Isole $x^{2}$ en passant la fraction de l'autre côté, puis prends la racine carrée positive.

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