Étude de f(x)=(x²−3x+4)/(x−1) avec asymptote y=x−2

Difficile
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Énoncé

Soit la fonction définie sur par :

.

  1. Calculer et étudier son signe.
  2. Dresser le tableau de variations de et préciser ses extremums.
  3. Montrer que la droite est asymptote oblique à au voisinage de .

Indices

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1 Indice 1
Utilise la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u=x^2-3x+4$ et $v=x-1$.
2 Indice 2
Une fois $f'(x)$ simplifié, le signe du dénominateur $(x-1)^2$ est toujours positif : le signe de $f'$ dépend seulement du numérateur, un trinôme du second degré à étudier avec le discriminant.
3 Indice 3
Pour l'asymptote oblique, effectue la division euclidienne de $x^2-3x+4$ par $x-1$ pour écrire $f(x)=x-2+\dfrac{\text{reste}}{x-1}$, puis étudie la limite du reste.

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La méthode — par où commencer

Utilise la formule de dérivation d'un quotient avec et .

Une fois simplifié, le signe du dénominateur est toujours positif : le signe de dépend seulement du numérateur, un trinôme du second degré à étudier avec le discriminant.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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