Une entreprise vend chaque unité au prix unitaire p = 90 dirhams. Pour une production de x unités, son coût total est : C ( x ) = x 3 − 30 x 2 + 300 x + 50 (en dirhams), x ∈ [ 0 ; 25 ] . Le profit est P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) où R ( x ) = 90 x est la recette. 1. Exprimer P ( x ) puis calculer P ′ ( x ) . 2. Déterminer la production entière x qui maximise le profit et la valeur de ce profit maximal.

Maximisation du profit (recette moins coût)

Difficile

Énoncé

Une entreprise vend chaque unité au prix unitaire $p = 90$ dirhams. Pour une production de $x$ unités, son coût total est :

$C (x) = x^{3} - 30 x^{2} + 300 x + 50 (en dirhams), x \in [0; 25] .$

Le profit est $P (x) = R (x) - C (x)$ où $R (x) = 90 x$ est la recette.

1. Exprimer $P (x)$ puis calculer $P^{'} (x)$ .
2. Déterminer la production entière $x$ qui maximise le profit et la valeur de ce profit maximal.

Indices

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1 Indice 1

Exprime le profit comme $P(x) = R(x) - C(x)$ avec $R(x)=90x$, puis développe et réduis l'expression avant de dériver.

2 Indice 2

Pour maximiser $P$, résous $P'(x)=0$ : c'est une équation du second degré. Calcule le discriminant pour trouver les racines.

3 Indice 3

Le signe de $P'$ te donne les variations de $P$. Comme la production doit être un nombre entier, compare les valeurs de $P$ aux deux entiers encadrant la racine qui donne le maximum.

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Exprime le profit comme $P (x) = R (x) - C (x)$ avec $R (x) = 90 x$ , puis développe et réduis l'expression avant de dériver.

Pour maximiser $P$ , résous $P^{'} (x) = 0$ : c'est une équation du second degré. Calcule le discriminant pour trouver les racines.

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