Soit f la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = ( x + 1 ) x . Montrer que pour tout x > 0 , f ′ ( x ) = 2 x 3 x + 1 . En déduire le sens de variation de f sur ] 0 ; + ∞ [ .

Dérivée avec racine carrée

Intermédiaire

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = (x + 1) x$ .

Montrer que pour tout $x > 0$ , $f^{'} (x) = \frac{3 x + 1}{2 x}$ .
En déduire le sens de variation de $f$ sur $] 0; + \infty [$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer la dérivée de $f(x) = (x+1)\sqrt{x}$, reconnais un produit de deux fonctions. Applique la formule $(uv)' = u'v + uv'$ en identifiant bien $u(x) = x+1$ et $v(x) = \sqrt{x}$.

2 Indice 2

Après avoir appliqué $(uv)'$, tu obtiens $\sqrt{x} + (x+1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Pour simplifier, mets tout au même dénominateur $2\sqrt{x}$ en écrivant $\sqrt{x} = \dfrac{2x}{2\sqrt{x}}$.

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Pour calculer la dérivée de $f (x) = (x + 1) x$ , reconnais un produit de deux fonctions. Applique la formule $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ en identifiant bien $u (x) = x + 1$ et $v (x) = x$ .

Après avoir appliqué $(uv)^{'}$ , tu obtiens $x + (x + 1) \times \frac{1}{2 x}$ . Pour simplifier, mets tout au même dénominateur $2 x$ en écrivant $x = \frac{2 x}{2 x}$ .

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