Le coût total de production de x unités ( x > 0 ) est C ( x ) = x 2 + 100 . Le coût moyen est C M ( x ) = x C ( x ) . Exprimer C M ( x ) puis calculer C M ′ ( x ) . Déterminer la quantité qui minimise le coût moyen.

Dérivée d'un quotient : coût moyen

Intermédiaire

Énoncé

Le coût total de production de $x$ unités ( $x > 0$ ) est $C (x) = x^{2} + 100$ . Le coût moyen est $C_{M} (x) = \frac{C ( x )}{x}$ .

Exprimer $C_{M} (x)$ puis calculer $C_{M}^{'} (x)$ .
Déterminer la quantité qui minimise le coût moyen.

Indices

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1 Indice 1

Pour exprimer $C_M(x)$, remplace simplement $C(x)$ par son expression dans la formule $C_M(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. Tu peux ensuite simplifier en séparant la fraction en deux termes.

2 Indice 2

Pour dériver $C_M(x)$, utilise la formule du quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Une fois $C_M'(x)$ trouvée, cherche quand elle s'annule en résolvant $C_M'(x) = 0$ et étudie son signe.

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Pour exprimer $C_{M} (x)$ , remplace simplement $C (x)$ par son expression dans la formule $C_{M} (x) = \frac{C ( x )}{x}$ . Tu peux ensuite simplifier en séparant la fraction en deux termes.

Pour dériver $C_{M} (x)$ , utilise la formule du quotient $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ . Une fois $C_{M}^{'} (x)$ trouvée, cherche quand elle s'annule en résolvant $C_{M}^{'} (x) = 0$ et étudie son signe.

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