Le coût total de production de x tonnes d'un matériau (avec x > 0 ) est C ( x ) = 2 x 2 + 800 (en dirhams). Le coût moyen est C M ( x ) = x C ( x ) . Montrer que C M ( x ) = 2 x + x 800 . Calculer C M ′ ( x ) et étudier son signe sur ] 0 ; + ∞ [ . En déduire la quantité x qui minimise le coût moyen ainsi que ce coût moyen minimal.

Coût moyen minimal pour C(x) = 2x² + 800

Intermédiaire

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Le coût total de production de $x$ tonnes d'un matériau (avec $x > 0$ ) est $C (x) = 2 x^{2} + 800$ (en dirhams). Le coût moyen est $C_{M} (x) = \frac{C ( x )}{x}$ .

Montrer que $C_{M} (x) = 2 x + \frac{800}{x}$ .
Calculer $C_{M}^{'} (x)$ et étudier son signe sur $] 0; + \infty [$ .
En déduire la quantité $x$ qui minimise le coût moyen ainsi que ce coût moyen minimal.

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $C_M(x) = 2x + \dfrac{800}{x}$, divise chaque terme du numérateur $2x^2 + 800$ par $x$ séparément. Utilise ensuite les règles de dérivation pour calculer $C_M'(x)$.

2 Indice 2

Pour étudier le signe de $C_M'(x) = 2 - \dfrac{800}{x^2}$, mets au même dénominateur pour obtenir une fraction, puis résous l'équation du numérateur égal à zéro pour trouver la valeur critique.

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Pour montrer que $C_{M} (x) = 2 x + \frac{800}{x}$ , divise chaque terme du numérateur $2 x^{2} + 800$ par $x$ séparément. Utilise ensuite les règles de dérivation pour calculer $C_{M}^{'} (x)$ .

Pour étudier le signe de $C_{M}^{'} (x) = 2 - \frac{800}{x ^{2}}$ , mets au même dénominateur pour obtenir une fraction, puis résous l'équation du numérateur égal à zéro pour trouver la valeur critique.

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